some feedbacks

• Skorokhod Space

근데 이거 발음 도대체 어떻게 하는거임? 어쨌든 며칠 전에 이 공간이나 구조를 주는 직관에 대해 잠깐 얘기했던 적이 있다. 그 때 생각했던 거는 당장 어떤 process나 확률분포의 수열에 대해 joint convergence 없이도 random sum들의 convergence in distribution를 보장하는 일종의 장치로 생각해볼 수 있지 않을까 하는거였고.. 어제 잠이 안와서 - 아무 생각없이 밤에 스리샷 커피 몇 모금 했더니 진짜 1-2시간 자고 수업뛰었다 - 이것저것 찾아보다가 Skorokhod 표현 정리라는 것의 더 강한 version이 있는데, 그건 전체 함수 공간의 separable이 아니라 limiting distribution의 support의 separable하다는 걸 가정하고(그러니까 더 약한 조건인거지) 이렇게 가정하면 매우 명백하게 Convergence in distribution이 almost surely convergence도 역으로 보장하게 되는 결론을 가질 수 있다. Billingsey 책 버전의 정리라고 하고 또 이것보다 약한.. local한 topology들에 대해서도 얘기하지만 여튼 아마 이틀 전 이야기에 대한 피드백.

• Degenerating Limiting Distribution

팔로업하는 교수님 중에 연대 통계학과 김일문 교수님이라는 분이 있다. 무슨 사정이 있으셔서 한국으로 가신건가..? 아니면 내가 모르는 사이에 -서울대 카이스트가 아닌- 한국 통계학과 여건이 매우매우 좋아졌나? 싶을 정도로 퍼포먼스가 좋으신 분이고 또 내가 관심가는 부분도 많이 건드리시는 분이다. 여튼 몇년전에 교수님이 다른 네임드들과 같이 쓴 논문이 하나 있는데, 이 논문의 문제의식은 머신러닝 structure에서 통계적 inference를 하려고 하는데, 근데 null 아래서 주어진 sampling distribution들이 ‘degenerating U-statistic’이라는 부분에 있다. 그리고 Permutation test가 이 부분에 있어서 더 나을 수 있다고.

위의 Skorokhod니 뭐니를 생각해보다가 든 생각은, 결국 저런 구조를 가정하거나 하는 일종의 additional asssumption들은 degenerate한 limiting distribution를 방지하고자 하는거고 그걸 왜 막아야 하냐면 결국 weak convergence만 보장되는 상황들이 있기 때문에.. 근데 permutation distribution에 대해 작업하면 할 수록 드는 생각은 이건 뭔가 - Hoeffding’s Condition이라는 장치를 통해 - 확률 수렴하는 경우가 많다는 거고 심지어 mixture에 refer하면 uniformly 그럴 때도 많다는거고.. 그래서 일반적으로, 이런 종류의 permutation test가 가지는 limiting distribution이라는 게 뭔가 ‘부자연스러운’ 가정들을 덜 필요로 하지 않나? 그런 생각을 했다 이 부분은 언젠가 생각이 나면 더 덧붙여보기로..