notes on the distributions

이른 오후에 미팅이 하나 있었다. 끝나고 같이 연구하는 학생에게도 몇 가지 물어보았다. 얼른 해치워야겠다 싶은 프로젝트고 뭔가.. -그러면 안되지만- 전력을 다하고 있지는 않은 프로젝트라 오히려 미래가 두렵다. 여기서 막혀서 다른 데서 힘을 빼면 안된다는 -오만한- 생각.. 여튼 시뮬레이션들 돌리는 거 보고 드렸다. 정외과 교수님은 요새 진짜 너무 잘해주신다. 감동 이빠이받고 열심히 연구해야겠다 생각하는 중..

• Distribution theory

에 빠짐. motivation이라고 한다면 미분이 안되는 대상들에 대해서 미분이 가능하게 하고 따라서 적분이 가능하게 하고 싶은 부분에 있을 것이다. 그러니까 예를 들어 디렉-델타 함수라든지 아니면 매우 간단하게는 절댓값 함수에 대한 미분 연산이라든지. 메져 이론적인 직관은, 미분이 불가능한 ‘매우 사소한 부분들’(메져 제로인 부분들)은 무시하고 넘어가자고 이야기한다.

• 약간 더 구체적으로

어쩄든 최적점을 찾는 가장 강력한 방법은 미분이다. 사실은 미분하는 것 이외에 수학적으로 최적점을 찾는 정교한 방법은 -내가 느끼기에- 없다. 근데 미분가능하지 않은 함수들이 있다. 근데 그 함수들이 적분가능하다면 부분적분으로 미분을 정의하자. 이게 첫번째 시작점이다. 근데 그렇게 안되는 함수들이 있다 - 예를 들면 디렉 델타 함수 (아닐 수도 있음).

이게 더 넓은 클라스의 함수들에 대해서 생각하게 만든다. 지금 내가 읽고 있는 레퍼런스는 Duistermaat and Kolk의 Distributions이라는 책이다. 여기서는 먼저 convolution부터 시작한다. f가 미분가능하지 않더라도, 충분히 좋은 함수 phi가 있다면 그 둘의 convolution은 미분 가능하다. 그러니까, 어떤 함수가 미분가능하지 않을 때 그 함수를 충분히 좋은 함수에 ‘대응’시켜서 미분값을 평가하거나 근사하자는 아이디어. 졸라 멋지지 않음? 어제 이거때문에 설레서 잠을 못잤다.

이걸 더 멋지게 표현하자면.. 대응해서 평가할 함수들을 test function이라고 부르고 이 함수들의 공간을 test function space라고 부르자. ‘대응시키기에 충분히 예쁜 함수’는 compact한 서포트를 가지며 무한번 미분가능한 복소함수로 정의할 수 있다. 어 나는 더 예쁘게 정의하고 싶은데 - 그니까 analytic한 애들. taylor series로 완벽히 표현할 수 있는 애들에 대해 말하고 싶은데? 근데 그렇게 범위를 넓히면 함수 클라스가 너무 trivial해진다(위 책 렘마 2.6).

여튼 convolution의 개념을 일반화한다면 - 어떤 함수 f와 test function의 convolution은 일종의.. 함수 공간에서의 내적과 유사하다(같진 않은 거 같은데 왠지 같다고 말하는 거 같다). 다르게 표현하자면, 그렇게 평가하는 행위가 함수공간에서 f에 대한 linear한 작용과 같다. 즉 이 작용 자체가 dual space의 원소다.. 진짜 졸라 멋지지 않음? 말이 안되게 멋있네.

• 더 생각해볼 부분들

근데 이런 linear functional들의 space - 그니까 Distribution의 space는 일반적으로 Hilbert space와 같지 않다. 으잉? 다른 말로 하자면 어떤 (함수로서의) input f가 주어졌을 때 작용(Distribution)에 대한 unique한 표현으로서의 test function이 주어지진 않는다는 것- 그러니까 리츠 표현정리가 되지 않는다는 것.

대신 약간 다른 맥락에서 슈바르츠 커널 정리라는 게 있는데.. 이건 내가 이해가 위의 이야기들보다 더더 부족해서 뭔가 직관적으로 이야기하기는 힘드네. 대신 뭔가 느낌이 오는 건 convolution theorem의 뭔가 일반화같다는 거.. 혹은, product distribution space에 대한 기존 distribution space에 대한 bilinear form을 얻을 수 있다는 거 - 근데 bilinear form에 대한 이해나 직관이 부족해서 이게 어떤 함축을 가지는지 알기가 힘듬.

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여튼.. 졸라 아름다워서 잠을 이루지 못한 밤이었다 4시간 잠.. 그 탓인지 미팅 후에 배탈이 났고 웨이트도 못감.. 집 가서 자야겟다.